Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно 4 различных решения.
График первого уравнения симметричен относительно осей координат, поэтому построим его при 
и 
а затем достроим график, используя симметрию. Имеем:
Таким образом, график первого уравнения исходной системы представляет собой объединение частей парабол и дуг окружностей (выделено оранжевым). Заметим, что полученный график также симметричен относительно прямых 
и 
Графиком второго уравнения исходной системы является семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом 1. Проанализируем построенные графики.
Прямая 
является касательной к части графика первого уравнения, задаваемой функцией 
в точке c абсциссой
а именно в точке 
то есть при
В силу симметрии эта же прямая (выделена синим) является касательной к графику первого уравнения в точке 
Найдём координаты точки C — точки пересечения графиков и 
при положительных значениях x и отрицательных значениях y:
Прямая (выделено зелёным) проходит через точку 
при
Прямая (выделена красным) является касательной к дуге окружности 
в точке 
при
Найдём количество решений системы при неположительных значениях параметра a. Получаем, что исходная система
— при 
не имеет решений;
— при 
имеет два решения;
— при 
— четыре решения;
— при 
— три решения;
— при 
— четыре решения;
— при 
— более четырёх решений.
В силу симметричности четыре решения исходная система будет иметь также при 
и 
Ответ: 