PDF-версии: 
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно 4 различных решения.
Решение. График первого уравнения симметричен относительно осей координат, поэтому построим его при 
и 
а затем достроим график, используя симметрию. Имеем:
Таким образом, график первого уравнения исходной системы представляет собой объединение частей парабол и дуг окружностей (выделено оранжевым). Заметим, что полученный график также симметричен относительно прямых 
и 
Графиком второго уравнения исходной системы является семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом 1. Проанализируем построенные графики.
Прямая 
является касательной к части графика первого уравнения, задаваемой функцией 
в точке c абсциссой
а именно в точке 
то есть при
В силу симметрии эта же прямая (выделена синим) является касательной к графику первого уравнения в точке 
Найдём координаты точки C — точки пересечения графиков и 
при положительных значениях x и отрицательных значениях y:
Прямая (выделено зелёным) проходит через точку 
при
Прямая (выделена красным) является касательной к дуге окружности 
в точке 
при
Найдём количество решений системы при неположительных значениях параметра a. Получаем, что исходная система
— при 
не имеет решений;
— при 
имеет два решения;
— при 
— четыре решения;
— при 
— три решения;
— при 
— четыре решения;
— при 
— более четырёх решений.
В силу симметричности четыре решения исходная система будет иметь также при 
и 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |