Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Его диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке P.
а) Докажите, что прямая, проходящая через точку P и середину стороны AD, перпендикулярная стороне BC.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырехугольника ABCD, если известно, что отрезки диагоналей равны: AP = 3, BP = 4, CP = 8.
а) Пусть точка M — середина отрезка AD. Пусть также прямые MP и BC пересекаются в точке N. Треугольник APD — прямоугольный, медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы: 
Пусть 
тогда из равнобедренного треугольника AMP получаем, что 
Следовательно, 
а углы MPD и BPN равны как вертикальные. Углы DAC и DBC — вписанные и опираются на одну дугу, а потому равные, то есть 
Для углов треугольника BPN получаем:
то есть прямые MN и BC перпендикулярны.
б) Пусть точки F и E — середины отрезков AC и BD соответственно, точка O — центр окружности. Треугольники OAC и OBD — равнобедренные, следовательно, их медианы OF и OE соответственно перпендикулярны основаниям. Произведения отрезков пересекающихся хорд равны, поэтому 
откуда
Из прямоугольника EPFO находим:
По теореме Пифагора для треугольника OFC получаем:
Ответ: 