Дан цилиндр, осевым сечением которого является прямоугольник, с центрами нижнего и верхнего оснований в точках O и O1 соответственно. Плоскость α проходит через диаметр AB нижнего основания и имеет с верхним основанием ровно одну общую точку K.
а) Докажите, что проекция точки K на плоскость нижнего основания лежит на прямой, проходящей через точку O перпендикулярно AB.
б) Найдите расстояние от центра верхнего основания (точки O1) до плоскости α, если радиус основания цилиндра равен 15, а высота цилиндра равна 20.
а) Проведем через точку K прямую, параллельную прямой AB. Эта прямая принадлежит одновременно плоскости α и плоскости верхнего основания, следовательно, эта прямая — касательная к окружности верхнего основания. Пусть точка M — проекция точки K на нижнее основание цилиндра. Касательная к окружности нижнего основания, проходящая через точку M, параллельна прямой AB, а потому прямые OM и AB перпендикулярны.
б) Пусть отрезок O1H — высота треугольника KOO1, проведенная из вершины прямого угла. Прямая O1H перпендикулярна прямой AB по теореме о трех перпендикулярах и перпендикулярна прямой KO по построению, поэтому она перпендикулярна плоскости α и является искомым расстоянием. Длина высоты треугольника, проведенной из вершины прямого угла, равна произведению длин катетов, деленному на длину гипотенузы:
Ответ: б) 12.