Ре­ше­ние. а)  Про­ве­дем через точку K пря­мую, па­рал­лель­ную пря­мой AB. Эта пря­мая при­над­ле­жит од­но­вре­мен­но плос­ко­сти α и плос­ко­сти верх­не­го ос­но­ва­ния, сле­до­ва­тель­но, эта пря­мая  — ка­са­тель­ная к окруж­но­сти верх­не­го ос­но­ва­ния. Пусть точка M  — про­ек­ция точки K на ниж­нее ос­но­ва­ние ци­лин­дра. Ка­са­тель­ная к окруж­но­сти ниж­не­го ос­но­ва­ния, про­хо­дя­щая через точку M, па­рал­лель­на пря­мой AB, а по­то­му пря­мые OM и AB пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Пусть от­ре­зок O₁H  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка KOO₁, про­ве­ден­ная из вер­ши­ны пря­мо­го угла. Пря­мая O₁H пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AB по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах и пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой KO по по­стро­е­нию, по­это­му она пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти α и яв­ля­ет­ся ис­ко­мым рас­сто­я­ни­ем. Длина вы­со­ты тре­уголь­ни­ка, про­ве­ден­ной из вер­ши­ны пря­мо­го угла, равна про­из­ве­де­нию длин ка­те­тов, де­лен­но­му на длину ги­по­те­ну­зы:

Ответ: б)  12.