Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 696675
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та синус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 минус синус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 ко­си­нус x плюс 1 конец ар­гу­мен­та конец дроби = 0.

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка минус 3 Пи ; минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Най­дем ОДЗ:

си­сте­ма вы­ра­же­ний минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та синус x боль­ше 0, минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та синус x не равно q 1, 2 ко­си­нус x плюс 1 боль­ше 0, 1 минус синус 2x боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний синус x мень­ше 0, синус x не равно q минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , ко­си­нус x боль­ше минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , синус 2x не равно q 1. конец си­сте­мы .

Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та синус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 минус синус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 ко­си­нус x плюс 1 конец ар­гу­мен­та конец дроби = 0 рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та синус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2 синус x ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 = 0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та синус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка синус x минус ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = 2 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка синус x минус ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = 2 синус в квад­ра­те x рав­но­силь­но синус в квад­ра­те x плюс 2 синус x ко­си­нус x минус ко­си­нус в квад­ра­те x = 0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но синус 2x минус ко­си­нус 2x = 0 рав­но­силь­но тан­генс 2x = 1 рав­но­силь­но 2x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k рав­но­силь­но x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , k при­над­ле­жит Z .

От­ме­тим корни по­лу­чен­ной серии и об­ласть до­пу­сти­мых зна­че­ний на еди­нич­ной окруж­но­сти. Оран­же­вым обо­зна­чен про­ме­жу­ток синус x мень­ше 0, зе­ле­ным  — про­ме­жу­ток ко­си­нус x боль­ше минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , фи­о­ле­то­вы­ми точ­ка­ми по­ка­за­ны корни синус x = минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , ро­зо­вы­ми  — корни синус 2x = 1, си­ни­ми  — по­лу­чен­ные корни дан­но­го урав­не­ния (см. рис.). Из ри­сун­ка видно, что ре­ше­ни­ем яв­ля­ет­ся толь­ко серия x = минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс 2 Пи k, k при­над­ле­жит Z .

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи двой­но­го не­ра­вен­ства:

минус 3 Пи мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс 2 Пи k мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но минус 3 мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс 2k мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но
рав­но­силь­но минус 24 мень­ше или равно минус 3 плюс 16k мень­ше или равно минус 12 рав­но­силь­но минус 21 мень­ше или равно 16k мень­ше или равно минус 9 рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 21, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби мень­ше или равно k мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби \underset k при­над­ле­жит Z \mathop рав­но­силь­но k = 1.

Най­ден­но­му зна­че­нию па­ра­мет­ра со­от­вет­ству­ет ко­рень  минус дробь: чис­ли­тель: 19 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

 

Ответ: а)  левая фи­гур­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс 2 Пи k : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б)  минус дробь: чис­ли­тель: 19 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 531
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, сво­ди­мые к целым на тан­генс или ко­тан­генс, Урав­не­ния сме­шан­но­го типа, Ло­га­риф­ми­че­ские урав­не­ния
Методы алгебры: До­мно­же­ние на зна­ме­на­тель с учётом ОДЗ, Ис­поль­зо­ва­ние ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства и след­ствий из него
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026