РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 696675 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 531

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на тангенс или котангенс, Уравнения смешанного типа, Логарифмические уравнения

Методы алгебры: Домножение на знаменатель с учётом ОДЗ, Использование основного тригонометрического тождества и следствий из него

Уравнения. Тригонометрия и логарифмы

а)  Решите уравнение $дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус синус 2x правая круглая скобка минус 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 косинус x плюс 1 конец аргумента конец дроби = 0.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 3 Пи ; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. Найдем ОДЗ:

$система выражений минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x больше 0, минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x не равно q 1, 2 косинус x плюс 1 больше 0, 1 минус синус 2x больше 0 конец системы . равносильно система выражений синус x меньше 0, синус x не равно q минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , косинус x больше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус 2x не равно q 1. конец системы .$

Преобразуем уравнение:

$дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус синус 2x правая круглая скобка минус 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 косинус x плюс 1 конец аргумента конец дроби = 0 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 2 синус x косинус x правая круглая скобка минус 2 = 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x правая круглая скобка левая круглая скобка синус x минус косинус x правая круглая скобка в квадрате = 2 равносильно левая круглая скобка синус x минус косинус x правая круглая скобка в квадрате = 2 синус в квадрате x равносильно синус в квадрате x плюс 2 синус x косинус x минус косинус в квадрате x = 0 равносильно$
$равносильно синус 2x минус косинус 2x = 0 равносильно тангенс 2x = 1 равносильно 2x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k равносильно x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , k принадлежит Z .$ $дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус синус 2x правая круглая скобка минус 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 косинус x плюс 1 конец аргумента конец дроби = 0 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 2 синус x косинус x правая круглая скобка минус 2 = 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x правая круглая скобка левая круглая скобка синус x минус косинус x правая круглая скобка в квадрате = 2 равносильно левая круглая скобка синус x минус косинус x правая круглая скобка в квадрате = 2 синус в квадрате x равносильно$
$равносильно синус в квадрате x плюс 2 синус x косинус x минус косинус в квадрате x = 0 равносильно синус 2x минус косинус 2x = 0 равносильно$
$равносильно тангенс 2x = 1 равносильно 2x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k равносильно x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , k принадлежит Z .$ $дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус синус 2x правая круглая скобка минус 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 косинус x плюс 1 конец аргумента конец дроби = 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 2 синус x косинус x правая круглая скобка минус 2 = 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x правая круглая скобка левая круглая скобка синус x минус косинус x правая круглая скобка в квадрате = 2 равносильно левая круглая скобка синус x минус косинус x правая круглая скобка в квадрате = 2 синус в квадрате x равносильно$
$равносильно синус в квадрате x плюс 2 синус x косинус x минус косинус в квадрате x = 0 равносильно синус 2x минус косинус 2x = 0 равносильно$
$равносильно тангенс 2x = 1 равносильно 2x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k равносильно x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , k принадлежит Z .$ $дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус синус 2x правая круглая скобка минус 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 косинус x плюс 1 конец аргумента конец дроби = 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 2 синус x косинус x правая круглая скобка минус 2 = 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x правая круглая скобка левая круглая скобка синус x минус косинус x правая круглая скобка в квадрате = 2 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка синус x минус косинус x правая круглая скобка в квадрате = 2 синус в квадрате x равносильно$
$равносильно синус в квадрате x плюс 2 синус x косинус x минус косинус в квадрате x = 0 равносильно синус 2x минус косинус 2x = 0 равносильно$
$равносильно тангенс 2x = 1 равносильно 2x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k равносильно x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , k принадлежит Z .$ $дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус синус 2x правая круглая скобка минус 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 косинус x плюс 1 конец аргумента конец дроби = 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 2 синус x косинус x правая круглая скобка минус 2 = 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x правая круглая скобка левая круглая скобка синус x минус косинус x правая круглая скобка в квадрате = 2 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка синус x минус косинус x правая круглая скобка в квадрате = 2 синус в квадрате x равносильно$
$равносильно синус в квадрате x плюс 2 синус x косинус x минус косинус в квадрате x = 0 равносильно$
$равносильно синус 2x минус косинус 2x = 0 равносильно тангенс 2x = 1 равносильно$
$равносильно 2x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k равносильно x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , k принадлежит Z .$

Отметим корни полученной серии и область допустимых значений на единичной окружности. Оранжевым обозначен промежуток $синус x меньше 0,$ зеленым  — промежуток $косинус x больше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ фиолетовыми точками показаны корни $синус x = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ,$ розовыми  — корни $синус 2x = 1,$ синими  — полученные корни данного уравнения (см. рис.). Из рисунка видно, что решением является только серия $x = минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни при помощи двойного неравенства:

$минус 3 Пи меньше или равно минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус 3 меньше или равно минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби плюс 2k меньше или равно минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно минус 24 меньше или равно минус 3 плюс 16k меньше или равно минус 12 равносильно минус 21 меньше или равно 16k меньше или равно минус 9 равносильно минус дробь: числитель: 21, знаменатель: 16 конец дроби меньше или равно k меньше или равно минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 16 конец дроби \underset k принадлежит Z \mathop равносильно k = 1.$ $минус 3 Пи меньше или равно минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно минус 3 меньше или равно минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби плюс 2k меньше или равно минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус 24 меньше или равно минус 3 плюс 16k меньше или равно минус 12 равносильно$
$равносильно минус 21 меньше или равно 16k меньше или равно минус 9 равносильно минус дробь: числитель: 21, знаменатель: 16 конец дроби меньше или равно k меньше или равно минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 16 конец дроби \underset k принадлежит Z \mathop равносильно k = 1.$ $минус 3 Пи меньше или равно минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно минус 3 меньше или равно минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби плюс 2k меньше или равно минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно минус 24 меньше или равно минус 3 плюс 16k меньше или равно минус 12 равносильно минус 21 меньше или равно 16k меньше или равно минус 9 равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: 21, знаменатель: 16 конец дроби меньше или равно k меньше или равно минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 16 конец дроби \underset k принадлежит Z \mathop равносильно k = 1.$

Найденному значению параметра соответствует корень  $минус дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 8 конец дроби .$

Ответ: а)  $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $минус дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 8 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

696675

а)  $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $минус дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 8 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 531

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	696675	а)  $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $минус дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 8 конец дроби .$