В треугольнике АВС биссектриса AD пересекает высоту ВН в точке О. Прямая СО перпендикулярна AD и пересекает АВ в точке N, причем NB = NO.
а) Докажите, что 
б) Найдите ВС, если радиус окружности, вписанной в треугольник АВС 
а) В треугольнике NAC прямая AO является биссектрисой и высотой, а потому и медианой. Треугольник NAC — равнобедренный по признаку, поэтому 
Отметим на стороне AB точку M такую, что прямая MO параллельна прямой AC. Тогда треугольник BOM — прямоугольный, поэтому медиана NO делит его на два равнобедренных треугольника MNO и BNO, откуда 
Отрезок MO — средняя линия треугольника ANC, следовательно, 
и 
Но 
значит, треугольник ANC — равносторонний. Таким образом,
б) Пусть 
тогда 
По теореме косинусов для треугольника ABC получаем:
Площадь треугольника ABC равна
Найдем радиус вписанной в треугольник окружности:
Таким образом,
откуда 
Ответ: 