PDF-версии: 
В треугольнике АВС биссектриса AD пересекает высоту ВН в точке О. Прямая СО перпендикулярна AD и пересекает АВ в точке N, причем NB = NO.
а) Докажите, что 
б) Найдите ВС, если радиус окружности, вписанной в треугольник АВС 
Решение. а) В треугольнике NAC прямая AO является биссектрисой и высотой, а потому и медианой. Треугольник NAC — равнобедренный по признаку, поэтому
Отметим на стороне AB точку M такую, что прямая MO параллельна прямой AC. Тогда треугольник BOM — прямоугольный, поэтому медиана NO делит его на два равнобедренных треугольника MNO и BNO, откуда 
Отрезок MO — средняя линия треугольника ANC, следовательно, 
и 
Но 
значит, треугольник ANC — равносторонний. Таким образом,
б) Пусть 
тогда 
По теореме косинусов для треугольника ABC получаем:
Площадь треугольника ABC равна
Найдем радиус вписанной в треугольник окружности:
Таким образом,
откуда 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |