Из точки М вне окружности проведены касательные и секущая, причем точки касания и точки пересечения секущей с окружностью являются вершинами некоторой трапеции. Угол между касательными равен 60°.
а) Докажите, что диагональ трапеции равна отрезку касательной от точки М до точки касания.
б) Найдите отношение большего основания трапеции к меньшему.
а) Пусть точки B и D — точки касания, а точки A и C — точки пересечения прямых и окружности (см. рис.). Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны, поэтому 
Следовательно, треугольник DMB — равнобедренный с углом 60°, то есть равносторонний. Таким образом, 
б) Трапеция вписана, поэтому является равнобокой, откуда 
Пусть 
Квадрат длины отрезка касательной, проведенной из точки вне окружности, равен произведению длины всей секущей, проходящей через ту же точку, на длину ее внешней части, тогда
Пусть 
тогда уравнение принимает вид 
Оно имеет один положительный корень 
Значит, 
По теореме об угле между касательной и хордой получаем 
Тогда треугольники MDC и MAD подобны по двум углам, аналогично подобны треугольники MBC и MAB. Из этих подобий находим
Длина отрезка секущей MA равна
поэтому
Аналогично 
Трапеция равнобокая, следовательно, 
тогда
Ответ: 