В выпуклом четырёхугольнике KLMN диагонали KМ и LN перпендикулярны соответственно сторонам MN и KL, а длина стороны KN 
Известно, что 
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь четырёхугольника KLMN.
а) Пусть прямые KL и NM пересекаются в точке B. Тогда отрезки KM и NL — высоты треугольника KBN. Построим третью высоту BH. Четырехугольник LBNH вписан в окружность с диаметром BN, поэтому 
Значит, равны их смежные углы: 
Аналогично 
Следовательно, 
то есть точка H совпадает с точкой A.
Треугольники KLH и KNB подобны, причем
Аналогично 
Из условия получаем:
Но из условия известно, что
Значит,
Отсюда следует, что 
и
б) По теореме синусов для треугольника KBN находим:
Следовательно, площадь треугольника KBN равна
Для треугольников BLM и BNK получаем:
то есть площадь четырехугольника KLMN вдвое меньше площади треугольника BKN. Таким образом,
Ответ: 
Примечание к пункту а).
Если бы точка A, например, лежала на отрезке KH, то верны были бы неравенства 
то есть 
что противоречит условию.
Примечание о синусе.
В ходе решения было опущено вычисление значения 
Приведем его:
