PDF-версии: 
В выпуклом четырёхугольнике KLMN диагонали KМ и LN перпендикулярны соответственно сторонам MN и KL, а длина стороны KN 
Известно, что 
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь четырёхугольника KLMN.
Решение. а) Пусть прямые KL и NM пересекаются в точке B. Тогда отрезки KM и NL — высоты треугольника KBN. Построим третью высоту BH. Четырехугольник LBNH вписан в окружность с диаметром BN, поэтому
Значит, равны их смежные углы: 
Аналогично 
Следовательно, 
то есть точка H совпадает с точкой A.
Треугольники KLH и KNB подобны, причем
Аналогично 
Из условия получаем:
Но из условия известно, что
Значит,
Отсюда следует, что 
и
б) По теореме синусов для треугольника KBN находим:
Следовательно, площадь треугольника KBN равна
Для треугольников BLM и BNK получаем:
то есть площадь четырехугольника KLMN вдвое меньше площади треугольника BKN. Таким образом,
Ответ: 
Примечание к пункту а).
Если бы точка A, например, лежала на отрезке KH, то верны были бы неравенства 
то есть 
что противоречит условию.
Примечание о синусе.
В ходе решения было опущено вычисление значения 
Приведем его:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |