Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 688504
i

15 ян­ва­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на срок 9 ме­ся­цев. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  1-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  со 2-го по 14-е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  15-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен умень­шать­ся по сле­ду­ю­ще­му прин­ци­пу:

—  в пер­вые 3 ме­ся­ца долг со­кра­ща­ет­ся на x руб­лей каж­дый месяц,

—  в сле­ду­ю­щие 3 ме­ся­ца  — на 2x руб­лей каж­дый месяц,

—  в по­след­ние 3 ме­ся­ца  — на 3x руб­лей каж­дый месяц,

—  до 14-го ок­тяб­ря долг дол­жен быть по­га­шен пол­но­стью.

Из­вест­но, что общая сумма вы­плат пре­вы­ша­ет взя­тую сумму на 60%. Най­ди­те r.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть S  — сумма, на ко­то­рую пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит. Тогда общая сумма всех вы­плат по кре­ди­ту равна 1,6S. Так как долг еже­ме­сяч­но умень­ша­ет­ся сна­ча­ла на x, затем на 2x, а затем 3x, со­ста­вим гра­фик по­га­ше­ния кре­ди­та:

 

МесяцВы­пла­таОста­ток долга
Фев­ральx плюс S умно­жить на дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби S минус x
Мартx плюс левая круг­лая скоб­ка S минус x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби S минус 2x
Ап­рельx плюс левая круг­лая скоб­ка S минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби S минус 3x
Май2x плюс левая круг­лая скоб­ка S минус 3x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби S минус 5x
Июнь2x плюс левая круг­лая скоб­ка S минус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби S минус 7x
Июль2x плюс левая круг­лая скоб­ка S минус 7x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби S минус 9x
Ав­густ3x плюс левая круг­лая скоб­ка S минус 9x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби S минус 12x
Сен­тябрь3x плюс левая круг­лая скоб­ка S минус 12x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби S минус 15x
Ок­тябрь3x плюс левая круг­лая скоб­ка S минус 15x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби S минус 18x

 

Таким об­ра­зом, сумма всех вы­плат равна

x плюс S умно­жить на дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби плюс x плюс левая круг­лая скоб­ка S минус x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби плюс x плюс левая круг­лая скоб­ка S минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби плюс 2x плюс левая круг­лая скоб­ка S минус 3x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби плюс 2x плюс левая круг­лая скоб­ка S минус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби плюс 2x плюс левая круг­лая скоб­ка S минус 7x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби плюс 3x плюс левая круг­лая скоб­ка S минус 9x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби плюс 3x плюс левая круг­лая скоб­ка S минус 12x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби плюс 3x плюс левая круг­лая скоб­ка S минус 15x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби =
= 18x плюс дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби левая круг­лая скоб­ка S плюс S минус x плюс S минус 2x плюс S минус 3x плюс S минус 5x плюс S минус 7x плюс S минус 9x плюс S минус 12x плюс S минус 15x пра­вая круг­лая скоб­ка =
= 18x плюс дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 9S минус 54x пра­вая круг­лая скоб­ка .

Перед по­след­ней вы­пла­той оста­ток долга равен S минус 18x, а зна­чит, S = 18x. Сумма всех вы­плат равна 1,6S, от­ку­да на­хо­дим:

18x плюс дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 9 умно­жить на 18x минус 54x пра­вая круг­лая скоб­ка = 1,6 умно­жить на 18x рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 28,8x минус 18x, зна­ме­на­тель: 108x конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 10,8, зна­ме­на­тель: 108 конец дроби рав­но­силь­но r = 10.

Ответ: 10.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ2
Верно по­стро­е­на ма­те­ма­ти­че­ская мо­дель1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 510