На доске написано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырех или пяти чисел из записанных является целым числом.
а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 403 и 2013?
б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если среди записанных на доске чисел есть число 403?
в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число 1 и квадрат натурального числа n, большего 1. Найдите наименьшее возможное значение n.
a) Рассмотрим пять чисел: a, b, c, d и e, записанных на доске. Средние арифметические 
и 
должны быть целыми числами. Следовательно, числа 
и 
должны делиться на 4, а значит, их разность 
также должна делиться на 4. Таким образом, разность любых двух чисел, записанных на доске, делится на 4. Аналогично можно показать, что разность любых двух чисел, записанных на доске, делится на 5, а значит, разность любых двух чисел, записанных на доске, делится на 20. Разность чисел 2013 и 403 равна 1610 и не делится на 20. Следовательно, числа 403 и 2013 одновременно не могут быть среди записанных чисел.
б) Остаток от деления числа 403 на 20 равен 3. Значит, остаток от деления любого записанного на доске числа на 20 равен 3, то есть любое число, записанное на доске, можно представить в виде 
где k — натуральное число или 0. Остаток от деления такого числа на 4 равен 3. С другой стороны, остаток от деления любого квадрата натурального числа на 4 равен 0 или 1. Значит, среди чисел, записанных на доске, не может быть квадратов натуральных чисел.
в) Числа 1 и 
должны давать одинаковые остатки при делении на 20, то есть число 
должно делиться на 20. Поскольку 
одно из чисел 
и 
должно делиться на 5. Таким образом, перебирая числа, для которых это выполнено, то есть числа 4, 6, 9, 11, 14, 16, ..., получаем, что наименьшее значение n, для которого делится на 20, равно 9. Примером чисел, удовлетворяющих условию задачи, для которых 
служит набор чисел: 1, 21, 41, 61, 81, 101, 121, 141, 161, 181, содержащий число 81.
Ответ: а) нет; б) нет; в) 9.