Любые два на­пи­сан­ных числа дают оди­на­ко­вые остат­ки от де­ле­ния на 4 или 7: если взять три или шесть дру­гих чисел и до­ба­вить к ним одно из этих двух, то в обоих слу­ча­ях сумма будет крат­на 4 или 7, зна­чит, у за­ме­ня­ю­щих друг друга чисел оди­на­ко­вые остат­ки. Сле­до­ва­тель­но, раз­ность любых двух на­пи­сан­ных чисел крат­на 4 и 7, а по­то­му и их наи­мень­ше­му об­ще­му крат­но­му  — числу 28. Зна­чит, все числа дают оди­на­ко­вые остат­ки от де­ле­ния на 28. На­про­тив, если у всех чисел остат­ки оди­на­ко­вы, то сумма че­ты­рех или семи из них будет крат­на 4 или 7.

а)  Число 563 при де­ле­нии на 28 дает оста­ток 3, а число 1417  — оста­ток 17, по­это­му они не под­хо­дят.

б)  За­ме­тим, что квад­ра­ты чет­ных чисел крат­ны 4, а квад­ра­ты не­чет­ных пред­ста­ви­мы в виде Сле­до­ва­тель­но, n² не может при де­ле­нии на 4 да­вать оста­ток 3, а имен­но такой оста­ток дает число 563.

в)  Нужно, чтобы n₂ и n да­ва­ли оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 28, то есть чтобы было крат­но 28. Один из мно­жи­те­лей дол­жен быть кра­тен 7. При n  =  7 по­лу­чим 42, оно не крат­но 28. При n  =  8 по­лу­чим 56, оно под­хо­дит. Зна­чит, наи­мень­шее под­хо­дя­щее n  — это 8.

В ка­че­стве при­ме­ра можно взять числа 8, 64  =  8² и любые дру­гие 8 чисел с остат­ком 8 от де­ле­ния на 28.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  8.