а)  Четырёхуголь­ник ABED  — тра­пе­ция с ос­но­ва­ни­я­ми BE и AD, при­чем ко­то­рая впи­са­на в окруж­ность. Тогда че­ты­рех­уголь­ник ABED  — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция, зна­чит, её диа­го­на­ли AE и BD равны. Рас­смот­рим четырёхуголь­ник ABDK. Он впи­сан­ный, его сто­ро­ны AB и KD па­рал­лель­ны, тогда четырёхуголь­ник ABDK  — или рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция с бо­ко­вы­ми сто­ро­на­ми AK и BD, или пря­мо­уголь­ник. Сле­до­ва­тель­но, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Сумма од­но­сто­рон­них углов при па­рал­лель­ных пря­мых и се­ку­щей равна 180°, зна­чит,

Сумма про­ти­во­по­лож­ных углов впи­сан­но­го четырёхуголь­ни­ка равна 180°, во впи­сан­ном четырёхуголь­ни­ке ABEK:

Тогда угол при ос­но­ва­нии рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка AKE равен 60°, то есть тре­уголь­ник AKE  — рав­но­сто­рон­ний. С учётом до­ка­зан­но­го в пунк­те а) по­лу­ча­ем, что от­ку­да

Ответ: б)  1 : 1.