PDF-версии: 
Окружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону BC в точках B и E и пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке K.
а) Докажите, что AE = AK.
б) Найдите отношение KE : BD, если 
Решение. а) Четырёхугольник ABED — трапеция с основаниями BE и AD, причем
которая вписана в окружность. Тогда четырехугольник ABED — равнобедренная трапеция, значит, её диагонали AE и BD равны. Рассмотрим четырёхугольник ABDK. Он вписанный, его стороны AB и KD параллельны, тогда четырёхугольник ABDK — или равнобедренная трапеция с боковыми сторонами AK и BD, или прямоугольник. Следовательно, 
что и требовалось доказать.
б) Сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна 180°, значит,
Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°, во вписанном четырёхугольнике ABEK:
Тогда угол при основании равнобедренного треугольника AKE равен 60°, то есть треугольник AKE — равносторонний. С учётом доказанного в пункте а) получаем, что 
откуда 
Ответ: б) 1 : 1.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |