В прямоугольном треугольнике ABC точка M лежит на катете AC, а точка N лежит на продолжении катета BC за точку C, причём CM = BC и CN = AC.
а) Отрезки CP и CQ — медианы треугольников ABC и NCM соответственно. Докажите, что прямые CP и CQ перпендикулярны.
б) Прямые MN и AB пересекаются в точке K, а прямые BM и AN — в точке L. Найдите KL, если BC = 1, а AC = 5.
а) Точки P и C — середины отрезков BA и MN соответственно. При повороте треугольника ABC вокруг точки C на 90° по часовой стрелке точки B, A и P отобразятся соответственно в точки M, N и Q. Значит, 
то есть прямая CP перпендикулярна прямой CQ, что и требовалось доказать.
б) Треугольник BMC — равнобедренный, 
и прямоугольный, 
тогда в нём 
Треугольник ANC — равнобедренный, 
и прямоугольный, 
тогда в нём 
Рассмотрим треугольники BMC и AML. Они подобны по двум углам — углы BMC и AML равны как вертикальные, 
Значит, 
точка M — точка пересечения высот треугольника ABN, и прямая NK перпендикулярна прямой AB. Тогда прямоугольные треугольники BMK и NML подобны по острому углу — углы BMK и NML равны как вертикальные — и справедливы равенства
Из последнего равенства и равенства вертикальных углов BMN и KML следует подобие треугольников BMN и KML. Тогда 
откуда получаем:
Ответ: 