Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию ABCD, касается ее боковой стороны CD в точке M. Луч AM вторично пересекает окружность в точке N, а прямую BC в точке K, причем AN = 4, MN = 12.
а) Докажите, что 
б) Найдите основания трапеции.
а) Пусть точка P — точка касания окружности с основанием AD. Квадрат длины касательной равен произведению длины секущей на длину ее внешней части, поэтому 
откуда 
то есть 
Точка P — середина основания AD в силу симметрии, поэтому 
Следовательно, 
треугольник ADM — равнобедренный. Тогда углы AMD и ADM равны, а последний, в свою очередь, равен углу MCK как накрест лежащий при параллельных прямых BK и AD и секущей CD. Таким образом, 
б) Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны: 
Пусть точка Q — точка касания окружности с основанием BC. Пусть также 
Треугольники ADM и KCM подобны по двум углам, поэтому 
откуда 
то есть 
Квадрат длины касательной равен произведению длины секущей на длину ее внешней части, следовательно, 
Получаем:
Таким образом, 
Ответ: 