PDF-версии: 
Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию ABCD, касается ее боковой стороны CD в точке M. Луч AM вторично пересекает окружность в точке N, а прямую BC в точке K, причем AN = 4, MN = 12.
а) Докажите, что 
б) Найдите основания трапеции.
Решение. а) Пусть точка P — точка касания окружности с основанием AD. Квадрат длины касательной равен произведению длины секущей на длину ее внешней части, поэтому
откуда 
то есть 
Точка P — середина основания AD в силу симметрии, поэтому 
Следовательно, 
треугольник ADM — равнобедренный. Тогда углы AMD и ADM равны, а последний, в свою очередь, равен углу MCK как накрест лежащий при параллельных прямых BK и AD и секущей CD. Таким образом, 
б) Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны: 
Пусть точка Q — точка касания окружности с основанием BC. Пусть также 
Треугольники ADM и KCM подобны по двум углам, поэтому 
откуда 
то есть 
Квадрат длины касательной равен произведению длины секущей на длину ее внешней части, следовательно, 
Получаем:
Таким образом, 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |