На доске написаны 30 натуральных не обязательно различных чисел. Все они больше 16, но меньше 56, а их среднее арифметическое равно 23. Все числа заменили на в два раза меньшие и после этого стерли те, что оказались меньше 9. При этом на доске обязательно осталось хотя бы одно число.
а) Может ли среднее арифметическое всех оставшихся чисел быть больше 21?
б) Может ли среднее арифметическое всех чисел быть больше 20, но меньше 21?
в) Какое наибольшее среднее арифметическое могло получиться у оставшихся чисел?
Ясно, что стерты будут только числа, которые были равны 17, потому что они превратятся в 8,5, что меньше 9. Пусть на доске записали a чисел 17 и 
прочих чисел. Общая сумма чисел составляла 
поэтому сумма чисел, не равных 17, была 
а) Пусть на доске были написаны 24 раза число 17 и 6 раз число 47. После уменьшения вдвое и стирания чисел, меньших 9, на доске останутся 6 чисел 23,5. Их среднее арифметическое равно 23,5, что больше 21.
б) Числа, не равные 17, уменьшатся вдвое, поэтому их сумма тоже уменьшится вдвое. Если указанное в условии возможно, то среднее новых чисел удовлетворяет условиям 
Преобразуем неравенства, пользуясь положительностью знаменателя, получим:
Никакое целое a не удовлетворяет полученному двойному неравенству.
в) Все числа меньше 56, поэтому их сумма была 
то есть 
Следовательно, для среднего новых чисел получаем:
Это значение достигается, если на доске записать, например, 25 раз число 17 и 5 раз число 53.
Ответ: а) да; б) нет; в) 26,5.