PDF-версии: 
Плоскость α перпендикулярна плоскости основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD и пересекает ребро SA в точке K. Сечение пирамиды плоскостью α является правильным треугольником 
а) Докажите, что плоскость α перпендикулярна прямой AC.
б) Найдите, в каком отношении точка K лежит ребро SA, считая от вершины S, если объём пирамиды 
Решение. а) Проекция прямой AS на плоскость ABCD является прямая AC, поэтому точка H — проекция точки K на ту же плоскость — лежит на прямой AC. Пусть треугольник KLM — сечение пирамиды (см. рис.), а точка O — центр ее основания. Отрезок KH перпендикулярен плоскости ABCD, поэтому он принадлежит плоскости α. Треугольники KLH и KMH равны по гипотенузе и катету, откуда
В треугольнике ALM медиана AH является также и биссектрисой, а потому и высотой.
Поскольку прямая AH перпендикулярна двум пересекающимся прямым ML и KH плоскости α, эта прямая перпендикулярна всей плоскости. А потому и прямая AC, содержащая прямую AH, ей перпендикулярна.
б) Пусть 
Из условия следует, что 
откуда 
Следовательно, 
как высота равностороннего треугольника. Треугольники AKH и ASO подобны по двум углам, обозначим k коэффициент их подобия. Тогда
Отрезок AH — высота в прямоугольном треугольнике MAL, проведенная из вершины прямого угла, а потому 
Далее, 
Зная объем пирамиды, получаем:
Отсюда следует, что 
то есть 
Ответ: б) 1 : 2.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |