PDF-версии: 
а) Приведите пример семизначного числа из которого, вычёркивая цифры, можно получить каждое из чисел: 123, 426, 786.
б) Существует ли девятизначное число из которого, вычёркивая цифры, можно получить каждое из чисел: 123, 238, 435, 567, 791?
в) Найдите наименьшее натуральное число, из которого можно получить все числа от 1 до 40 включительно, вычёркивая из него цифры.
Решение. а) Например, из числа 7 814 236 получается каждое из чисел: 123, 426, 786.
б) В перечисленных числах встречаются все цифры от 1 до 9, значит, каждая из этих цифр должна присутствовать в девятизначном числе по одному разу. Тогда цифра 3 должна следовать в записи после цифры 1, 5 — после 3, 7 — после 5, 1 — после 7. Таким образом, единица должна следовать в записи после самой себя, что невозможно.
в) Заметим, что из искомого числа должны получаться числа 11, 22 и 33, поэтому в его записи должны присутствовать не менее двух единиц, двух двоек и двух троек и каждая из остальных цифр. То есть в числе должно быть не меньше
Покажем, что не существует меньше числа, удовлетворяющего условию задачи. Для каждого разряда числа, начиная от старшего, будем выбирать наименьшую возможную цифру. Первая цифра не может быть меньше 1. Заметим, что нуль должен идти после четвёрки, поскольку иначе нельзя получить число 40; между двумя единицами должны быть двойка и тройка, поскольку иначе нельзя получить числа 21 и 31, поэтому вторая цифра должна быть 2. Между двумя двойками должна быть тройка, поскольку иначе нельзя получить число 32, поэтому третья цифра должна быть 3. Далее можно использовать по порядку наименьшие оставшиеся цифры, кроме нуля, до тех пор, пока не появится четвёрка. После неё должен идти нуль, а затем оставшиеся цифры в порядке возрастания.
Ответ: а) например, 7 814 236; б) нет; в) 1 231 234 056 789.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а, б и в. | 4 |
| Приведем верный пример в пункте а и обоснованно получен верный ответ в пункте в. ИЛИ Обоснованно получены верные ответы в пунктах б и в. | 3 |
| Приведен верный пример в пункте а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте в. | 2 |
| Приведен верный пример в пункте а или обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |