В треугольной пирамиде ребра АВ, АС и AD взаимно перпендикулярны, причём АВ = АС. Точки L, F, Q и T — середины ребер BD, DC, AC и AB соответственно. Известно, что плоскости DTQ и ALF перпендикулярны.
а) Докажите, что AD : AB = 1 : 2.
б) Пусть S и Е — точки пересечения медиан треугольников ABD и ACD соответственно. Найдите объём многогранника TLFQES, если AD = 3.
а) Пусть точка M — середина ребра BC. Рассмотрим проекцию пирамиды на плоскость ADB. Пусть точка N — середина отрезка LF, точка P — середина отрезка QT, а отрезки DP и AN пересекаются в точке O.
Тогда отрезок NP — средняя линия треугольника ADM, то есть 
и 
Пусть 
Из прямоугольных треугольников ADP, ADO и ADM последовательно получаем:
Треугольник ABM — прямоугольный и равнобедренный, значит, 
Следовательно,
б) Найдем длины отрезков TL и LF как средние линии треугольников DAB и DBC соответственно:
Площадь прямоугольника LTFQ 
Объем пирамиды ATLFQ равен
Разобьем многогранник TLFQES на две пирамиды — SEFQ и STLFQ. Найдем объем пирамиды SEFQ:
Объем пирамиды STLFQ втрое меньше объема пирамиды ATLFQ, потому что точка S — центроид треугольника DAB, вследствие чего находится втрое ближе к плоскости TLFQ, чем точка A. Тогда 
а искомый объем равен сумме двух найденных:
Ответ: б) 2.