РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 677685 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 499

Уравнения. Тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

а)  Решите уравнение $дробь: числитель: 1, знаменатель: тангенс x конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: \ctg x конец дроби минус 2\ctg x = 2.$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Уравнение определено при $x не равно дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $n принадлежит Z .$ Преобразуем его при этом ограничении:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: тангенс x конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: \ctg x конец дроби минус 2 \ctg x = 2 равносильно \ctg x плюс тангенс x минус 2 \ctg x = 2 равносильно дробь: числитель: синус x, знаменатель: косинус x конец дроби минус дробь: числитель: косинус x, знаменатель: синус x конец дроби = 2 равносильно$
$равносильно синус в квадрате x минус косинус в квадрате x = 2 синус x косинус x равносильно синус 2x = минус косинус 2x равносильно$
$равносильно тангенс 2x = минус 1 равносильно 2x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k равносильно x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , k принадлежит Z .$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: тангенс x конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: \ctg x конец дроби минус 2 \ctg x = 2 равносильно \ctg x плюс тангенс x минус 2 \ctg x = 2 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: синус x, знаменатель: косинус x конец дроби минус дробь: числитель: косинус x, знаменатель: синус x конец дроби = 2 равносильно синус в квадрате x минус косинус в квадрате x = 2 синус x косинус x равносильно$
$равносильно синус 2x = минус косинус 2x равносильно тангенс 2x = минус 1 равносильно$
$равносильно 2x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k равносильно x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , k принадлежит Z .$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: тангенс x конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: \ctg x конец дроби минус 2 \ctg x = 2 равносильно$
$равносильно \ctg x плюс тангенс x минус 2 \ctg x = 2 равносильно дробь: числитель: синус x, знаменатель: косинус x конец дроби минус дробь: числитель: косинус x, знаменатель: синус x конец дроби = 2 равносильно$
$равносильно синус в квадрате x минус косинус в квадрате x = 2 синус x косинус x равносильно$
$равносильно синус 2x = минус косинус 2x равносильно тангенс 2x = минус 1 равносильно$
$равносильно 2x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k равносильно x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , k принадлежит Z .$

Все члены найденной серии удовлетворяют условию $x не равно дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 2 конец дроби .$

б)  Отберем корни при помощи двойного неравенства:

$минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: k, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно минус 12 меньше или равно минус 1 плюс 4k меньше или равно 4 равносильно минус 11 меньше или равно 4k меньше или равно 5 равносильно минус дробь: числитель: 11, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно k меньше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби .$ $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: k, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус 12 меньше или равно минус 1 плюс 4k меньше или равно 4 равносильно$
$равносильно минус 11 меньше или равно 4k меньше или равно 5 равносильно минус дробь: числитель: 11, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно k меньше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби .$

Полученному двойному неравенству удовлетворяют целые числа $k = минус 2,$ $k = минус 1,$ $k = 0$ и $k = 1.$ Найденным значениям параметра k соответствуют корни $минус дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби$  и  $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби .$

Ответ: а)  $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $минус дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

677685

а)  $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $минус дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 499

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	677685	а)  $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $минус дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби .$