Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 676937
i

Сто­ро­на AB тре­уголь­ни­ка ABC в два раза боль­ше сто­ро­ны BC. Про­дол­же­ние бис­сек­три­сы BL пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную около тре­уголь­ни­ка ABC окруж­ность в точке Q. Из­вест­но, что AC  =  6, LQ  =  2.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые AB и CQ па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть AB  =  2x, BC  =  x. По свой­ству бис­сек­три­сы дробь: чис­ли­тель: AB, зна­ме­на­тель: BC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: AL, зна­ме­на­тель: LC конец дроби = 2, тогда AL  =  4, LC  =  2. По тео­ре­ме о пе­ре­се­ка­ю­щих­ся хор­дах по­лу­ча­ем:

BL умно­жить на LQ = AL умно­жить на LC рав­но­силь­но BL = дробь: чис­ли­тель: AL умно­жить на LC, зна­ме­на­тель: LQ конец дроби рав­но­силь­но BL = дробь: чис­ли­тель: 4 умно­жить на 2, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но BL = 4.

Сле­до­ва­тель­но, BL  =  LC. Углы LAB и LBA равны как углы при ос­но­ва­нии рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка. Углы LBA и LCQ равны как впи­сан­ные, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу. Сле­до­ва­тель­но, при пе­ре­се­че­нии пря­мых AB и CQ се­ку­щей AC об­ра­зо­ва­лись рав­ные углы LAB и LCQ, а зна­чит, пря­мые AB и CQ па­рал­лель­ны.

б)  В тре­уголь­ни­ках ABL и LBC вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой ко­си­ну­сов, по­лу­чим:

ко­си­нус \angle ABL = дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 4 в квад­ра­те минус 4 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на 2x умно­жить на 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 16x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,

ко­си­нус \angle LBC = дробь: чис­ли­тель: 4 в квад­ра­те плюс x в квад­ра­те минус 2 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на 4 умно­жить на x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 12 плюс x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 8x конец дроби .

При­рав­ня­ем по­лу­чен­ные вы­ра­же­ния и решим по­лу­чен­ное урав­не­ние:

дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 12 плюс x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 8x конец дроби рав­но­силь­но 8x в квад­ра­те = 48 плюс 4x в квад­ра­те рав­но­силь­но 4x в квад­ра­те = 48 рав­но­силь­но x в квад­ра­те = 12 \underset x боль­ше 0 \mathop рав­но­силь­но x = 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Зна­чит, по­лу­пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC равен p = дробь: чис­ли­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 6, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , то есть p = 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 3. Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой Ге­ро­на:

S_ABC = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 3 минус 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 3 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 3 минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та =
= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 3 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 3 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка 27 минус 9 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 9 минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 18 умно­жить на 6 конец ар­гу­мен­та = 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Ответ: б)  6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 676860: 676937 Все

Методы геометрии: Свой­ства бис­сек­трис, Тео­ре­ма си­ну­сов, Тео­ре­ма ко­си­ну­сов
Классификатор планиметрии: Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026