PDF-версии: 
Сторона AB треугольника ABC в два раза больше стороны BC. Продолжение биссектрисы BL пересекает описанную около треугольника ABC окружность в точке Q. Известно, что AC = 6, LQ = 2.
а) Докажите, что прямые AB и CQ параллельны.
б) Найдите площадь треугольника ABC.
Решение. а) Пусть AB = 2x, BC = x. По свойству биссектрисы
тогда AL = 4, LC = 2. По теореме о пересекающихся хордах получаем:
Следовательно, BL = LC. Углы LAB и LBA равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Углы LBA и LCQ равны как вписанные, опирающиеся на одну дугу. Следовательно, при пересечении прямых AB и CQ секущей AC образовались равные углы LAB и LCQ, а значит, прямые AB и CQ параллельны.
б) В треугольниках ABL и LBC воспользуемся теоремой косинусов, получим:
Приравняем полученные выражения и решим полученное уравнение:
Значит, полупериметр треугольника ABC равен 
то есть 
Воспользуемся формулой Герона:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |