Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 676861
i

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых ре­ше­ни­ем си­сте­мы

си­сте­ма вы­ра­же­ний |x минус a плюс 4| плюс |x плюс 3a плюс 8| = 4a плюс 4, a в квад­ра­те плюс x в квад­ра­те плюс 2a мень­ше или равно 24 конец си­сте­мы .

яв­ля­ет­ся от­ре­зок, длина ко­то­ро­го равна двум.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пе­ре­пи­шем пер­вое урав­не­ние си­сте­мы в виде

\absx плюс 3a плюс 8 плюс \absa минус x минус 4 = левая круг­лая скоб­ка x плюс 3a плюс 8 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка a минус x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка .

От­сю­да ясно, что пер­вое урав­не­ние вы­пол­не­но в том и толь­ко том слу­чае, когда оба вы­ра­же­ния, сто­я­щие под зна­ком мо­ду­ля, не­от­ри­ца­тель­ны. Итак, x плюс 3a плюс 8 боль­ше или равно 0 и a минус x минус 4 боль­ше или равно 0, то есть минус 3a минус 8 мень­ше или равно x мень­ше или равно a минус 4.

Вто­рое не­ра­вен­ство пе­ре­пи­шем в виде x в квад­ра­те мень­ше или равно 24 минус 2a минус a в квад­ра­те , от­ку­да

минус ко­рень из { 24 минус 2a минус a в квад­ра­те мень­ше или равно x мень­ше или равно ко­рень из { 24 минус 2a минус a в квад­ра­те ,

если под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние не­от­ри­ца­тель­но. В про­тив­ном слу­чае ре­ше­ний у вто­ро­го не­ра­вен­ства нет.

Зна­чит, ре­ше­ни­ем си­сте­мы будет пе­ре­се­че­ние двух по­лу­чен­ных от­рез­ков. Тре­бу­ет­ся, чтобы оно тоже было от­рез­ком и имело длину 2. Тогда раз­ность между одним из най­ден­ных пра­вых кон­цов и одним из най­ден­ных левых долж­на быть равна 2, а кроме того, от­рез­ки долж­ны пра­виль­но рас­по­ла­гать­ся. Решим все 4 урав­не­ния и про­ве­рим рас­по­ло­же­ние от­рез­ков. Сразу за­ме­тим, что длина каж­до­го из них долж­на быть не мень­ше 2, по­это­му

a минус 4 минус левая круг­лая скоб­ка минус 3a минус 8 пра­вая круг­лая скоб­ка = 4a плюс 4 боль­ше или равно 2 рав­но­силь­но a боль­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Слу­чай 1: a минус 4 минус левая круг­лая скоб­ка минус 3a минус 8 пра­вая круг­лая скоб­ка = 2. Тогда a = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , пер­вый от­ре­зок будет левая квад­рат­ная скоб­ка минус 6,5; минус 4,5 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , но минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 24 минус 2a минус a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 25 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец ар­гу­мен­та боль­ше минус 6,5, по­это­му вто­рой от­ре­зок не будет со­дер­жать пер­вый и пе­ре­се­че­ние не будет иметь длину 2.

Слу­чай 2: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 24 минус 2a минус a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та минус левая круг­лая скоб­ка минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 24 минус 2a минус a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка = 2. Тогда

ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 24 минус 2a минус a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = 1 рав­но­силь­но 24 минус 2a минус a в квад­ра­те = 1 рав­но­силь­но a в квад­ра­те плюс 2a минус 23 = 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний a = минус 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 24 конец ар­гу­мен­та , a = минус 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 24 конец ар­гу­мен­та . конец со­во­куп­но­сти .

Ко­рень a = минус 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 24 конец ар­гу­мен­та не удо­вле­тво­ря­ет усло­вию a боль­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , а для a = минус 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 24 конец ар­гу­мен­та по­лу­чим a минус 4 = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 24 конец ар­гу­мен­та минус 5 мень­ше 1, и по­то­му пер­вый от­ре­зок не со­дер­жит вто­рой.

Слу­чай 3: a минус 4 минус левая круг­лая скоб­ка минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 24 минус 2a минус a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка = 2. Тогда

ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 24 минус 2a минус a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = 6 минус a рав­но­силь­но 24 минус 2a минус a в квад­ра­те = 36 минус 12a плюс a в квад­ра­те рав­но­силь­но 2a в квад­ра­те минус 10a плюс 12 = 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний a = 2, a = 3. конец со­во­куп­но­сти .

Оба зна­че­ния яв­ля­ют­ся кор­ня­ми рас­смат­ри­ва­е­мо­го урав­не­ния. Рас­смот­рим от­рез­ки. При a = 2 пер­вый от­ре­зок  — левая квад­рат­ная скоб­ка минус 14; минус 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , вто­рой  — левая квад­рат­ная скоб­ка минус 4; 4 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , их пе­ре­се­че­ние  — левая квад­рат­ная скоб­ка минус 4; минус 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , что под­хо­дит. При a = 3 пер­вый от­ре­зок  — левая квад­рат­ная скоб­ка минус 17; минус 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , вто­рой  — левая квад­рат­ная скоб­ка минус 3; 3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , их пе­ре­се­че­ние  — левая квад­рат­ная скоб­ка минус 3; минус 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , что под­хо­дит.

Слу­чай 4: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 24 минус 2a минус a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та минус левая круг­лая скоб­ка минус 3a минус 8 пра­вая круг­лая скоб­ка = 2. Тогда

ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 24 минус 2a минус a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = минус 6 минус 3a мень­ше или равно минус 6 минус 3 левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 4,5,

что не­воз­мож­но.

 

Ответ: левая фи­гур­ная скоб­ка 2; 3 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны вер­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, но до­пу­щен не­до­чет3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, при этом верно вы­пол­не­ны все шаги ре­ше­ния,

ИЛИ

в ре­ше­нии верно най­де­ны все гра­нич­ные точки мно­же­ства зна­че­ний па­ра­мет­ра, но не­вер­но опре­де­ле­ны про­ме­жут­ки зна­че­ний

2
В слу­чае ана­ли­ти­че­ско­го ре­ше­ния: за­да­ча верно све­де­на к на­бо­ру ре­шен­ных урав­не­ний и не­ра­венств с уче­том тре­бу­е­мых огра­ни­че­ний,

ИЛИ

в слу­чае гра­фи­че­ско­го ре­ше­ния: за­да­ча верно све­де­на к ис­сле­до­ва­нию вза­им­но­го рас­по­ло­же­ния линий (изоб­ра­же­ны не­об­хо­ди­мые фи­гу­ры, учте­ны огра­ни­че­ния, ука­за­на связь ис­ход­ной за­да­чи с по­стро­ен­ны­ми фи­гу­ра­ми)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл4
Классификатор алгебры: Си­сте­мы с па­ра­мет­ром, Па­ра­мет­ры: рас­сто­я­ние между точ­ка­ми
Методы алгебры: Пе­ре­бор слу­ча­ев
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026