PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых решением системы
является отрезок, длина которого равна двум.
Решение. Перепишем первое уравнение системы в виде
Отсюда ясно, что первое уравнение выполнено в том и только том случае, когда оба выражения, стоящие под знаком модуля, неотрицательны. Итак, 
и 
то есть 
Второе неравенство перепишем в виде 
откуда
если подкоренное выражение неотрицательно. В противном случае решений у второго неравенства нет.
Значит, решением системы будет пересечение двух полученных отрезков. Требуется, чтобы оно тоже было отрезком и имело длину 2. Тогда разность между одним из найденных правых концов и одним из найденных левых должна быть равна 2, а кроме того, отрезки должны правильно располагаться. Решим все 4 уравнения и проверим расположение отрезков. Сразу заметим, что длина каждого из них должна быть не меньше 2, поэтому
Случай 1: 
Тогда 
первый отрезок будет 
но 
поэтому второй отрезок не будет содержать первый и пересечение не будет иметь длину 2.
Случай 2: 
Тогда
Корень 
не удовлетворяет условию 
а для 
получим 
и потому первый отрезок не содержит второй.
Случай 3: 
Тогда
Оба значения являются корнями рассматриваемого уравнения. Рассмотрим отрезки. При 
первый отрезок — 
второй — 
их пересечение — 
что подходит. При 
первый отрезок — 
второй — 
их пересечение — 
что подходит.
Случай 4: 
Тогда
что невозможно.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |