РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 16 № 673372 Добавить в вариант

Источники:

Финансовая математика. Разные задачи

В два различных сосуда налиты растворы соли, причем в 1‐⁠й сосуд налито 5 кг, а во второй  — 20 кг. При испарении воды процентное содержание соли (по массе) в первом сосуде увеличилось в p раз, а во втором  — в q раз. О числах p и q известно, что $pq=9.$ Какое наибольшее количество воды могло при этом испариться из обоих сосудов вместе?

Решение. Пусть в первом сосуде было x кг соли, а во втором y кг. Тогда доля соли в первом сосуде составляла $дробь: числитель: x, знаменатель: 5 конец дроби ,$ а во втором  — $дробь: числитель: y, знаменатель: 20 конец дроби .$ После испарения части воды доли будут равны $дробь: числитель: px, знаменатель: 5 конец дроби$ и $дробь: числитель: yq, знаменатель: 20 конец дроби ,$ Поскольку масса соли осталась неизменной, масса растворов уменьшилась в p и q раз соответственно.

Наибольшей массе испарившейся воды соответствует наименьшая масса оставшихся растворов. Значит, нужно определить наименьшее значение выражения $дробь: числитель: 5, знаменатель: p конец дроби плюс дробь: числитель: 20, знаменатель: q конец дроби .$ Используя соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел $левая круглая скобка a плюс b больше или равно 2 корень из: начало аргумента: ab конец аргумента правая круглая скобка ,$ получаем

$дробь: числитель: 5, знаменатель: p конец дроби плюс дробь: числитель: 20, знаменатель: q конец дроби больше или равно 2 корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 100, знаменатель: pq конец дроби конец аргумента =2 умножить на дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 20, знаменатель: 3 конец дроби$

Это значение достигается, если $дробь: числитель: 5, знаменатель: p конец дроби = дробь: числитель: 20, знаменатель: q конец дроби ,$ то есть $q=4p.$ Если взять $p=1,5$ и $q=6,$ то все условия будут выполнены (в том числе то, что $p,q больше 1,$ то есть вода и правда испарялась).

Значит, могло испариться максимум $25 минус дробь: числитель: 20, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 55, знаменатель: 3 конец дроби$ кг воды.

Ответ: $дробь: числитель: 55, знаменатель: 3 конец дроби$ кг.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	3
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели и получен результат: –  неверный ответ из-за вычислительной ошибки; –  верный ответ, но решение недостаточно обосновано	2
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение может быть не завершено	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Источники:

А. Ларин. Тренировочный вариант № 266;

А. Ларин. Тренировочный вариант № 486.

Ключ