РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 671985 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители, Область определения уравнения

Методы алгебры: Формулы двойного угла, Разложение на множители

Уравнения. Тригонометрические уравнения, разложение на множители

а)  Решите уравнение $дробь: числитель: 1, знаменатель: синус x конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус x конец дроби = 2 корень из 2 .$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 3 Пи ; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Заметим, что уравнение не определено при $x= дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $k принадлежит Z .$ Преобразуем уравнение при этом ограничении:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: синус x конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус x конец дроби = 2 корень из 2 равносильно синус x плюс косинус x = 2 корень из 2 синус x косинус x равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка = синус 2x равносильно$
$равносильно синус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка минус синус 2x=0 равносильно 2 косинус левая круглая скобка дробь: числитель: 3x, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби минус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений косинус левая круглая скобка дробь: числитель: 3x, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка =0, синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби минус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 3x, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби = Пи k, конец совокупности . равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 3x, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс Пи k, дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи k}3, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 3 конец дроби , k принадлежит \mathbb{Z, знаменатель: . конец дроби$

б)  Отберем корни при помощи двойного неравенства:

$минус 3 Пи меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус дробь: числитель: 13, знаменатель: 8 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: k, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 8 конец дроби равносильно минус целая часть: 4, дробная часть: числитель: 7, знаменатель: 8 меньше или равно k меньше или равно минус целая часть: 2, дробная часть: числитель: 5, знаменатель: 8 равносильно совокупность выражений k = минус 3, k = минус 4. конец совокупности .$

Найденным значениям k соответствуют корни $минус дробь: числитель: 29 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 3 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 29 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

671985

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 3 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 29 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Методы алгебры: Формулы двойного угла, Разложение на множители

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	671985	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 3 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 29 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$