В правильном тетраэдре ABCD точки M и N — середины ребер AB и CD соответственно. Плоскость α перпендикулярна прямой MN и пересекает ребро BC в точке K.
а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна рёбрам AB и CD.
б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью α, если известно, что 
и 
Решение. а) Прямая DM перпендикулярна прямой AB, так как треугольник ABD равносторонний, и M — середина стороны AB. Аналогично CM перпендикулярна AB. Следовательно, AB перпендикулярна плоскости CMD (перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости), в том числе, и прямой MN, лежащей в этой плоскости. Полностью аналогично можно показать, что CD перпендикулярна плоскости ABN, в которой содержится прямая MN. Что и требовалось доказать.
б) Проведем через точку K прямую, параллельную прямой CD, пусть она пересечет BD в точке T. Через точку T проведем прямую, параллельную AB, пусть она пересечет AD в точке R Аналогично определяется точка S.
Докажем, что сечение SRTK искомое. TK параллельна CD, по построению. Так как MN перпендикулярна CD, то MN перпендикулярна и TK. Аналогично MN перпендикулярна SK. Следовательно, MN перпендикулярна плоскости SRT (перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости).
Четырехугольник SRTK — параллелограмм по построению. Прямая AB перпендикулярна стороне CD, так как ее проекция является биссектрисой (углы BAC и BAD равны) в равностороннем треугольнике, то есть проекция перпендикулярна CD. Прямые TK и SK параллельны прямым CD и AB по построению, поэтому угол RTK прямой. Следовательно, четырехугольник SRTK — прямоугольник. Все ребра тетраэдра равны, по условию отрезки BK и CK равны 1 и 3 соответственно, откуда следует, что все ребра равны 4. Итого 
и 
Площадь SRTK равна:
Ответ: б) 3.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |