РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 665351 Добавить в вариант

Источники:

Задания 13 ЕГЭ–2023;

ЕГЭ по математике 01.06.2023. Основная волна. Задания Дальнего Востока;

ЕГЭ по математике 01.06.2023. Основная волна. Дальний Восток. Вариант 2;

Демонстрационная версия ЕГЭ—2025 по математике. Профильный уровень.

Уравнения. Тригонометрические уравнения, разные задачи

а)  Решите уравнение $2 синус в кубе x= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус в квадрате x плюс 2 синус x.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 4 Пи ; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение.

а)  Преобразуем уравнение:

$2 синус в кубе x = корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус в квадрате x плюс 2 синус x равносильно 2 синус в кубе x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента левая круглая скобка 1 минус синус в квадрате x правая круглая скобка минус 2 синус x = 0 равносильно$
$равносильно 2 синус в кубе x плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус в квадрате x минус 2 синус x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента = 0 равносильно синус в квадрате x левая круглая скобка 2 синус x плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка минус 2 синус x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка синус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 синус x плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений синус x = 1, синус x = минус 1, синус x = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности .k принадлежит Z .$ $2 синус в кубе x = корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус в квадрате x плюс 2 синус x равносильно 2 синус в кубе x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента левая круглая скобка 1 минус синус в квадрате x правая круглая скобка минус 2 синус x = 0 равносильно$
$равносильно 2 синус в кубе x плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус в квадрате x минус 2 синус x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента = 0 равносильно$
$равносильно синус в квадрате x левая круглая скобка 2 синус x плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка минус 2 синус x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента = 0 равносильно левая круглая скобка синус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 синус x плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x = 1, синус x = минус 1, синус x = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности .k принадлежит Z .$ $2 синус в кубе x = корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус в квадрате x плюс 2 синус x равносильно 2 синус в кубе x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента левая круглая скобка 1 минус синус в квадрате x правая круглая скобка минус 2 синус x = 0 равносильно$
$равносильно 2 синус в кубе x плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус в квадрате x минус 2 синус x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента = 0 равносильно$
$равносильно синус в квадрате x левая круглая скобка 2 синус x плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка минус 2 синус x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка синус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 синус x плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x = 1, синус x = минус 1, синус x = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности .k принадлежит Z .$ $2 синус в кубе x = корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус в квадрате x плюс 2 синус x равносильно$
$равносильно 2 синус в кубе x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента левая круглая скобка 1 минус синус в квадрате x правая круглая скобка минус 2 синус x = 0 равносильно$
$равносильно 2 синус в кубе x плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус в квадрате x минус 2 синус x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента = 0 равносильно$
$равносильно синус в квадрате x левая круглая скобка 2 синус x плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка минус 2 синус x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка синус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 синус x плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x = 1, синус x = минус 1, синус x = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности .k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни при помощи тригонометрической окружности. Подходят: $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Источники:

Задания 13 ЕГЭ–2023;

ЕГЭ по математике 01.06.2023. Основная волна. Задания Дальнего Востока;

ЕГЭ по математике 01.06.2023. Основная волна. Дальний Восток. Вариант 2;

Демонстрационная версия ЕГЭ—2025 по математике. Профильный уровень.

Ключ