PDF-версии: 
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один корень.
Решение. Положим 
тогда уравнение можно записать в виде
При 
функция 
не принимает положительных значений. При 
функция f принимает только положительные значения и возрастает как произведение положительных возрастающих функций. Заметим, что 
а тогда уравнение (⁎) равносильно уравнению
Пусть 
тогда уравнение (⁎⁎), а вместе с ним и исходное уравнение имеют хотя бы один корень тогда и только тогда, когда хотя бы один неотрицательный корень имеет уравнение
Полученное уравнение задает на плоскости yOa окружность радиусом 
с центром в точке 
Окружность пересекает вертикальную ось в точках −1 и 1 (см. рис.), уравнение имеет хотя бы одно неотрицательное решение, если 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |