PDF-версии: 
Из набора цифр 1, 2, 3, 4, 6, 7 и 9 составляют пару чисел, используя каждую цифру один раз.
а) Может ли сумма такой пары чисел равняться 15 008?
б) Может ли сумма такой пары чисел равняться 94 358?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел в такой паре?
Решение. а) Да, например, 
б) Сумма всех цифр из условия равна 32, а сумма цифр числа 94 358 равна 29. Если бы при сложении ни разу не случилось переноса в следующий разряд, сумма цифр ответа была бы 32, а каждый перенос уменьшает ее на 9, поэтому если она не 32, то сразу не больше 
в) Заметим, что 
Докажем, что получить больше нельзя. Если оба слагаемых не более чем пятизначны, то их сумма не превосходит
значит, одно из слагаемых шестизначное. Ясно также, что в шестизначном числе все цифры должны быть упорядочены по убыванию, иначе его (а значит и сумму) можно увеличить. Если в нем будет использована единица не вместо двойки, это уменьшит одну из цифр (кроме последней), поэтому число уменьшится не менее чем на 10, и это не удастся скомпенсировать увеличением однозначного слагаемого. Вариант 
дает такую же сумму.
Ответ: а) да; б) нет; в) 976 433.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |