PDF-версии: 
В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 плоскость проходит через вершины B1 и D и пересекает ребра AA1 и CC1 в точках M и K соответственно. Известно, что M — середина AA1.
а) Докажите, что MB1KD — ромб.
б) Найдите площадь ромба MB1KD, если объем призмы ABCDA1B1C1D1 равен 9, а площадь ее основания ABCD равна 3.
Решение. а) По условию точка M — середина ребра AA1. Рассмотрим треугольники AMD и A1MB1. Заметим, что
поскольку призма правильная, и 
так как точка M — середина ребра AA1. Таким образом, прямоугольные треугольники AMD и A1MB1 равны по катету и гипотенузе, следовательно, 
Заметим, что прямые MB1 и MD параллельны прямым DK и KB1 соответственно, так как лежат в параллельных гранях призмы, а также в одной плоскости 
Поэтому четырехугольник MB1KD — параллелограмм. Его смежные стороны равны, а значит, четырехугольник MB1KD — ромб.
б) Площадь основания равна 3, а призма правильная, поэтому стороны основания 
Высота призмы равна 3, поэтому найдем диагональ ромба B1D:
Тогда площадь ромба MB1KD есть:
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |