PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет два решения.
Решение. Преобразуем:
График уравнения (2) суть две симметричные относительно оси абсцисс части парабол
и 
на промежутке 
График первого уравнения — прямая с угловым коэффициентом 4, проходящая через точку (0; a).
1) Если 
то есть 
то с нижней частью графика уравнения (2) прямая всегда имеет ровно две точки пересечения . Поэтому потребуем, чтобы прямая не имела общих точек с верхней частью графика, то есть при 
не имело решений уравнение
Это достигается при отрицательном дискриминанте полученного уравнения:
С учетом условия 
получаем, что при 
исходная система имеет ровно два решения.
2) Если 
и 
то есть 
то прямая точно имеет ровно одну точку пересечения с нижней частью графика уравнения (2) и ровно одну точку пересечения с верхней частью графика, то есть исходная система имеет ровно два решения.
3) Если 
то есть 
то с верхней частью графика уравнения (2) прямая всегда имеет ровно две точки пересечения . Поэтому потребуем, чтобы прямая не имела общих точек с нижней частью графика, то есть при 
не имело решений уравнение
Это достигается при отрицательном дискриминанте полученного уравнения:
С учетом условия 
получаем, что при 
исходная система имеет ровно два решения.
Итак, исходная система имеет два решения при 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |