РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 660773 Добавить в вариант

Источники:

Задания 15 ЕГЭ–2024;

ЕГЭ по математике 31.05.2024. Основная волна. Сибирь.

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно показательной функции

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Неравенства. Неравенства рациональные относительно показательной функции

Решите неравенство $2 в степени x минус 6 минус дробь: числитель: 9 умножить на 2 в степени x минус 37, знаменатель: 4 в степени x минус 7 умножить на 2 в степени x плюс 12 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 в степени x минус 4 конец дроби .$

Решение. Пусть $t=2 в степени x ,$ тогда имеем:

$t минус 6 минус дробь: числитель: 9t минус 37, знаменатель: t в квадрате минус 7t плюс 12 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: t минус 4 конец дроби равносильно t минус 6 минус дробь: числитель: 9t минус 37, знаменатель: левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: t минус 4 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно t минус 6 минус дробь: числитель: 9t минус 37 плюс t минус 3, знаменатель: левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно t минус 6 минус дробь: числитель: 10t минус 40, знаменатель: левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 конец дроби меньше или равно 0 равносильно t минус 6 минус дробь: числитель: 10 левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0.$ $t минус 6 минус дробь: числитель: 9t минус 37, знаменатель: t в квадрате минус 7t плюс 12 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: t минус 4 конец дроби равносильно t минус 6 минус дробь: числитель: 9t минус 37, знаменатель: левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: t минус 4 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно t минус 6 минус дробь: числитель: 9t минус 37 плюс t минус 3, знаменатель: левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно t минус 6 минус дробь: числитель: 10t минус 40, знаменатель: левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 конец дроби меньше или равно 0 равносильно t минус 6 минус дробь: числитель: 10 левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0.$ $t минус 6 минус дробь: числитель: 9t минус 37, знаменатель: t в квадрате минус 7t плюс 12 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: t минус 4 конец дроби равносильно$
$равносильно t минус 6 минус дробь: числитель: 9t минус 37, знаменатель: левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: t минус 4 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно t минус 6 минус дробь: числитель: 9t минус 37 плюс t минус 3, знаменатель: левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно t минус 6 минус дробь: числитель: 10t минус 40, знаменатель: левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно t минус 6 минус дробь: числитель: 10 левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0.$ $t минус 6 минус дробь: числитель: 9t минус 37, знаменатель: t в квадрате минус 7t плюс 12 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: t минус 4 конец дроби равносильно$
$равносильно t минус 6 минус дробь: числитель: 9t минус 37, знаменатель: левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: t минус 4 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно t минус 6 минус дробь: числитель: 9t минус 37 плюс t минус 3, знаменатель: левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно t минус 6 минус дробь: числитель: 10t минус 40, знаменатель: левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 конец дроби меньше или равно 0 равносильно t минус 6 минус дробь: числитель: 10 левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0.$ $t минус 6 минус дробь: числитель: 9t минус 37, знаменатель: t в квадрате минус 7t плюс 12 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: t минус 4 конец дроби равносильно$
$равносильно t минус 6 минус дробь: числитель: 9t минус 37, знаменатель: левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: t минус 4 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно t минус 6 минус дробь: числитель: 9t минус 37 плюс t минус 3, знаменатель: левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно t минус 6 минус дробь: числитель: 10t минус 40, знаменатель: левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно t минус 6 минус дробь: числитель: 10 левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0.$

При условии $t не равно 4$ сократим и получим:

$t минус 6 минус дробь: числитель: 10, знаменатель: t минус 3 конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка минус 10, знаменатель: t минус 3 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 9t плюс 8, знаменатель: t минус 3 конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 8 правая круглая скобка , знаменатель: t минус 3 конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений t меньше или равно 1, 3 меньше t меньше 4, 4 меньше t меньше или равно 8. конец совокупности .$ $t минус 6 минус дробь: числитель: 10, знаменатель: t минус 3 конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка минус 10, знаменатель: t минус 3 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 9t плюс 8, знаменатель: t минус 3 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 8 правая круглая скобка , знаменатель: t минус 3 конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений t меньше или равно 1, 3 меньше t меньше 4, 4 меньше t меньше или равно 8. конец совокупности .$

Вернёмся к исходной переменной. Имеем:

$совокупность выражений 2 в степени x меньше или равно 1, 3 меньше 2 в степени x меньше 4, 4 меньше 2 в степени x меньше или равно 8. конец совокупности . равносильно совокупность выражений x меньше или равно 0, логарифм по основанию 2 3 меньше x меньше 2, 2 меньше x меньше или равно 3. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка логарифм по основанию 2 3; 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; 3 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

660773

$левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка логарифм по основанию 2 3; 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; 3 правая квадратная скобка .$

Источники:

Задания 15 ЕГЭ–2024;

ЕГЭ по математике 31.05.2024. Основная волна. Сибирь.

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно показательной функции

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	660773	$левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка логарифм по основанию 2 3; 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; 3 правая квадратная скобка .$