ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 654670 Добавить в вариант

Известно, что значение параметра а таково, что система уравнений

$система выражений новая строка 3 в степени левая круглая скобка натуральный логарифм y правая круглая скобка =27 в степени левая круглая скобка |x| правая круглая скобка , новая строка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка ax в квадрате y в квадрате плюс 3 правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка a в квадрате плюс x в степени 4 y в квадрате правая круглая скобка плюс 1 конец системы .$

имеет единственное решение. Найдите это значение параметра a и решите систему при найденном значении параметра.

Спрятать решение

Решение.

Из первого уравнения системы получаем

$3 в степени левая круглая скобка натуральный логарифм y правая круглая скобка =27 в степени левая круглая скобка |x| правая круглая скобка равносильно y=e в степени левая круглая скобка 3|x| правая круглая скобка .$

Заметим, что если пара $левая круглая скобка x; y правая круглая скобка$   — решение системы, то пара $левая круглая скобка минус x; y правая круглая скобка$   — также решение этой системы. Поскольку система имеет единственное решение, этим решением может быть только пара $левая круглая скобка 0;y правая круглая скобка .$ Таким образом, $x=0$ и из второго уравнения получаем:

$логарифм по основанию 3 3 = логарифм по основанию 3 a в квадрате плюс 1 равносильно a в квадрате = 1 равносильно совокупность выражений новая строка a=1, новая строка a= минус 1. конец совокупности .$

Проверим, действительно ли система при найденных значениях a имеет единственное решение.

1.  Если $a= минус 1,$ то второе уравнение системы имеет единственное решение:

$логарифм по основанию 3 левая круглая скобка минус x в квадрате y в квадрате плюс 3 правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 1 плюс x в степени 4 y в квадрате правая круглая скобка плюс 1 равносильно минус x в квадрате y в квадрате плюс 3 = 3 плюс 3x в степени 4 y в квадрате равносильно y в квадрате левая круглая скобка 3x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс x в квадрате правая круглая скобка =0\undersety больше 0\mathop равносильно x=0.$ $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка минус x в квадрате y в квадрате плюс 3 правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 1 плюс x в степени 4 y в квадрате правая круглая скобка плюс 1 равносильно$
$равносильно минус x в квадрате y в квадрате плюс 3 = 3 плюс 3x в степени 4 y в квадрате равносильно y в квадрате левая круглая скобка 3x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс x в квадрате правая круглая скобка =0\undersety больше 0\mathop равносильно x=0.$ $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка минус x в квадрате y в квадрате плюс 3 правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 1 плюс x в степени 4 y в квадрате правая круглая скобка плюс 1 равносильно$
$равносильно минус x в квадрате y в квадрате плюс 3 = 3 плюс 3x в степени 4 y в квадрате равносильно$
$равносильно y в квадрате левая круглая скобка 3x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс x в квадрате правая круглая скобка =0\undersety больше 0\mathop равносильно x=0.$

Тогда $y=e в степени левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =1,$ а значит, пара (0; 1) является единственным решением системы.

2.  Если $a=1,$ то второе уравнение системы имеет три решения:

$логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в квадрате y в квадрате плюс 3 правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 1 плюс x в степени 4 y в квадрате правая круглая скобка плюс 1 равносильно x в квадрате y в квадрате плюс 3 = 3 плюс 3x в степени 4 y в квадрате равносильно$
$равносильно y в квадрате левая круглая скобка 3x в степени 4 минус x в квадрате правая круглая скобка =0\undersety больше 0\mathop равносильно x в квадрате левая круглая скобка 3x в квадрате минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений новая строка x=0, новая строка x= дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , новая строка x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента . конец совокупности .$ $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в квадрате y в квадрате плюс 3 правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 1 плюс x в степени 4 y в квадрате правая круглая скобка плюс 1 равносильно$
$равносильно x в квадрате y в квадрате плюс 3 = 3 плюс 3x в степени 4 y в квадрате равносильно y в квадрате левая круглая скобка 3x в степени 4 минус x в квадрате правая круглая скобка =0\undersety больше 0\mathop равносильно$
$\undersety больше 0\mathop равносильно x в квадрате левая круглая скобка 3x в квадрате минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений новая строка x=0, новая строка x= дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , новая строка x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента . конец совокупности .$

Каждому из найденных значений x соответствует значение $y=e в степени левая круглая скобка 3|x| правая круглая скобка ,$ а потому система имеет три решения.

Ответ: система имеет единственное решение $левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка$ при $a= минус 1.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания ответа на задание С5	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	4
Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку.	3
Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки.	2
Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок.	1
Все прочие случаи.	0
Максимальное количество баллов	4

Аналоги к заданию № 484629: 654670 Все

Классификатор алгебры: Системы с параметром

Методы алгебры: Перебор случаев, Использование симметрий, оценок, монотонности

Источник/автор: Гущин Д. Д.

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь