PDF-версии: 
Найдите все значения параметра b, при каждом из которых найдется такое число a, что система
имеет хотя бы одно решение (x; y).
Решение. Преобразуем второе уравнение системы:
Графиком уравнения является окружность с центром (2a; 2a) и радиусом 2. При всех а такие окружности описывают полосу, ограниченную касательными, параллельными 
Поскольку 
получаем:
а значит, 
Точки всех таких окружностей лежат не ниже прямой 
а ветви параболы 
направлены вниз, следовательно, хотя бы одно решение будет, если
Наименьшее значение квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства, достигается в точке 
откуда:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |