РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Каждую цифру a в записи натурального числа n заменим последней цифрой числа 7a. Обозначим полученное число через n*. Например, $левая круглая скобка 2 351 078 правая круглая скобка в степени * = 4 157 096.$

а)  Сколько решений имеет уравнение $n плюс n в степени * = 1292 ?$

б)  Существует ли решение уравнения $n плюс n в степени * = 942 ?$

в)  Сколько существует трехзначных чисел b, для которых уравнение $n плюс n в степени * = 2 b$ не имеет решения?

Решение. Выпишем для каждой цифры n соответствующую цифру n*:

$0 минус 0,$ $1 минус 7,$ $2 минус 4,$ $3 минус 1,$ $4 минус 8,$ $5 минус 5,$ $6 минус 2,$ $7 минус 9,$ $8 минус 6,$ $9 минус 3.$

Суммы чисел в каждой паре равны соответственно 0, 8, 6, 4, 12, 10, 8, 16, 14 и 12.

Отметим также, что при трехзначном b сумма n и n* лежит в промежутке от 200 до 1998, поэтому n обязано быть трехзначным: для двузначных и однозначных n, $n в степени * меньше или равно 99,$ для четырехзначных и еще больших чисел n, $n в степени * больше или равно 1000.$

а)  Ясно, что сумма последних цифр n и n* равна 12. Заменим последние цифры этих чисел на 0, от этого сумма уменьшится на 12 и станет равна 1280. Если же убрать нули, то сумма оставшихся двузначных чисел равна 128. Рассуждая аналогично, получаем, что сумма средних цифр изначальных чисел (или последних цифр новых, что то же самое) равна 8, а сумма первых 12. Выбор цифр для каждого из этих вариантов можно сделать двумя способами: 4 + 8 и 9 + 3 для 12, 1 + 7 и 6 + 2 для 8, что дает $2 умножить на 2 умножить на 2 = 8$ вариантов ответа.

б)  Аналогично пункту а) получаем, что сумма оставшихся после вычеркивания последних цифр двузначных чисел равна 93, что невозможно, поскольку ни сумму 3, ни сумму 13 организовать нельзя.

в)  Аналогично пункту а) получаем, что n + n* всегда может быть записано в виде $100a плюс 10b плюс c,$ где

$a, b, c принадлежит левая фигурная скобка 0, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 правая фигурная скобка .$

Значит, половина этого числа всегда может быть записана в виде $100a_1 плюс 10 b_1 плюс c_1,$ где

$a_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби a,$ $b_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби b,$ $c_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби c,$

где $a_1, b_1, c_1 принадлежит левая фигурная скобка 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 правая фигурная скобка .$ Итак, вопрос сводится к такому  — сколько трехзначных чисел можно составить из указанных цифр. На первое место можно взять любую из семи цифр (кроме нуля), а на остальные  — любую из восьми, что дает $7 умножить на 8 умножить на 8 = 448$ вариантов. Всего трехзначных чисел 900, для 448 из них уравнение $n плюс n в степени * = 2 b$ имеет решения, значит, для 452 чисел решений не будет.

Ответ: а)  8; б)  нет; в)  452.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	647170	а)  8; б)  нет; в)  452.

Ключ