К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.
б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P. B каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если 
a) Пусть окружность, вписанная в квадрат, касается его стороны AB в точке M1, стороны AD — в точке N1, а прямой MN — в точке T. По свойству касательных
и 
Тогда:
б) Положим 
и 
Тогда:
По теореме Пифагора 
то есть
Отсюда находим, что 
Тогда 
и 
Пусть точка O — центр окружности, а прямая PO пересекает стороны AD и BC в точках L и H соответственно. Из равенства треугольников DOL и BOH следует, что 
поэтому
Окружность вписана в угол MPC, значит, PL — биссектриса треугольника DPN, который подобен треугольнику AMN. Используя свойство биссектрисы и подобие, находим:
откуда 
Учитывая, что
находим, что 
и 
Ответ: б) 1 : 4.