Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
На сторонах AB и AC треугольника ABC отмечены точки C1 и B1 соответственно. Оказалось, что BC1 = CB1 = BC.
а) Докажите, что точки B, C и середины отрезков BB1 и CC1 лежат на одной окружности.
б) Найдите косинус угла между прямыми BB1 и CC1, если BC = 5, AB = 12, AC = 13.
Решение.
Спрятать критерииа) Пусть точка M — середина отрезка BB1, N — середина отрезка CC1, точка K — середина основания BC. Тогда по теореме о средней линии 
и 
Отсюда
б) Заметим, что 
значит, угол ABC — прямой. Треугольник BCC1 — равнобедренный, угол C1CB равен 45°. Пусть угол B1BC равен α. Тогда
отсюда
Пусть прямые BB1 и CC1 пересекаются в точке P. Тогда 
Значит,
Ответ: б) 
Источники:
Методы геометрии: Тригонометрия в геометрии
Классификатор планиметрии: Треугольники