PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно 2 различных решения.
Решение. Графиком первого уравнения является объединение прямой
и гиперболы 
Графиком второго уравнения является прямая, параллельная прямой 
и проходящая через точку 
Прямые и 
пересекаются при любом a, поэтому ровно два решения система будет иметь в случае, когда прямая 
касается гиперболы или проходит через одну из точек пересечения гиперболы и прямой 
Прямая касается гиперболы тогда, когда уравнение
имеет единственное решение. Это случается при
Найдем точки пересечения прямой 
и гиперболы:
Следовательно, прямая и гипербола пересекаются в точках (1; −6) и (7; 0). Прямая проходит через них при 
и 
соответственно.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |