В треугольнике ABC проведены биссектрисы BM и CN. Оказалось, что точки B, C, M и N лежат на одной окружности.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Пусть P — точка пересечения биссектрис этого треугольника. Найдите площадь четырёхугольника AMPN, если 
и BN = 12.
a) Вписанные углы MBN и MCN опираются на одну и ту же дугу MN окружности, значит, эти углы равны. Поскольку BM
и, следовательно, треугольник ABC равнобедренный.
б) Пусть прямая AP пересекает сторону BC в точке K. Тогда AK — высота и медиана равнобедренного треугольника ABC. По свойству биссектрисы треугольника
Значит, по обратной теореме Фалеса прямые MN и BC параллельны. Тогда
и треугольник BMN равнобедренный, BN = MN. По условию 
Пусть 
и 
где 
Поскольку 
получаем, что
следовательно, 
и 
Из прямоугольного треугольника ABK находим
Отрезок BP — биссектриса треугольника ABK, значит,
следовательно,
Прямая AK перпендикулярна прямой BC, прямая BC параллельна прямой MN, значит, прямая AP перпендикулярна
Ответ: б) 