Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 530436
i

В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны бис­сек­три­сы BM и CN. Ока­за­лось, что точки B, C, M и N лежат на одной окруж­но­сти.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный.

б)  Пусть P  — точка пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис тре­уголь­ни­ка ABC. Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка AMPN, если MN : BC  =  2 : 5, а BN  =  21.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Впи­сан­ные углы NCM и MBN опи­ра­ют­ся на одну и ту же дугу, сле­до­ва­тель­но, они равны. По­сколь­ку

дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \angle ACB=\angle MCN=\angle MBN= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \angle ABC,

по­лу­ча­ем \angle ACB=\angle ABC, то есть тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный.

б)  По­сколь­ку

\angle BCN=\angle MCN=\angle MBN=\angle MBC,

по­лу­ча­ем, что BN=NM=MC=21 и пря­мая MN па­рал­лель­на пря­мой BC. От­ре­зок BC равен дробь: чис­ли­тель: 105, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Пусть AK  — бис­сек­три­са, ме­ди­а­на и вы­со­та тре­уголь­ни­ка ABC. Пря­мая AK про­хо­дит через точку P  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти. Тре­уголь­ник ANM по­до­бен тре­уголь­ни­ку ABC, сле­до­ва­тель­но,

дробь: чис­ли­тель: AN, зна­ме­на­тель: AB конец дроби = дробь: чис­ли­тель: MN, зна­ме­на­тель: BC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Тогда

AB= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби BN=35,

AK= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AB в квад­ра­те минус BK в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 35 в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 105, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 35 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABС равна

S_ABC= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби AK умно­жить на BC= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби PK умно­жить на левая круг­лая скоб­ка AB плюс AC плюс BC пра­вая круг­лая скоб­ка ,

а зна­чит

PK= дробь: чис­ли­тель: AK умно­жить на BC, зна­ме­на­тель: AB плюс AC плюс BC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: \tfrac35 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на \tfrac105235 плюс 35 плюс \tfrac1052= дробь: чис­ли­тель: 15 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,

AP=AK минус PK= дробь: чис­ли­тель: 35 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 15 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби =5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та .

В четырёхуголь­ни­ке AMPN диа­го­на­ли AP и MN пер­пен­ди­ку­ляр­ны, сле­до­ва­тель­но, его пло­щадь равна

S_AMPN= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби AP умно­жить на MN= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 21= дробь: чис­ли­тель: 105 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Ответ: б) дробь: чис­ли­тель: 105 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 530404: 530436 642007 642025 Все

Методы геометрии: Углы в окруж­но­стях {центр., впис., опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти, Окруж­но­сти и тре­уголь­ни­ки, По­до­бие, Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026