Ре­ше­ние. а)  Сумма на­ту­раль­ных чисел, за­пи­сан­ных в пер­вый день, равна 8. Сле­до­ва­тель­но, чисел, за­пи­сан­ных в пер­вый день, не более 8. Тогда в день n () за­пи­сан­ных чисел не более 1. И это число за­ве­до­мо боль­ше 8 (по­сколь­ку сумма чисел с каж­дым днем уве­ли­чи­ва­ет­ся). Про­ти­во­ре­чие с усло­ви­ем (все за­пи­сан­ные числа долж­ны быть мень­ше 6).

б)  Рас­смот­рим до­пу­сти­мую усло­ви­я­ми кон­фи­гу­ра­цию (без учета сред­не­го зна­че­ния за все дни):

Дей­стви­тель­но, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел, за­пи­сан­ных в пер­вый день, оче­вид­но, мень­ше 4. В каж­дый по­сле­ду­ю­щий день чисел за­пи­са­но мень­ше, чем в преды­ду­щий. А также сумма чисел, за­пи­сан­ных в каж­дый по­сле­ду­ю­щий день, боль­ше, чем в преды­ду­щий. Оче­вид­но, что если про­дол­жать при­пи­сы­вать стол­бец (4 5 5) слева, то эти усло­вия не на­ру­шат­ся. Можно по­лу­чить, ска­жем, такой при­мер:

Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех этих чисел, оче­вид­но, боль­ше 4,5.

в)  Пред­по­ло­жим, что в по­след­ний (чет­вер­тый) день за­пи­са­но одно число. Тогда в пер­вый день за­пи­са­но не менее че­ты­рех чисел. Сле­до­ва­тель­но, в пер­вый день сумма чисел не мень­ше 4. А в чет­вер­тый, со­от­вет­ствен­но, сумма чисел не мень­ше 7. Но в чет­вер­тый день за­пи­са­но ровно одно число. Про­ти­во­ре­чие с тем, что мак­си­маль­ное воз­мож­ное число мень­ше 6.

Мы по­ка­за­ли, что в чет­вер­тый день за­пи­са­но как ми­ни­мум два числа. Тогда в тре­тий день за­пи­са­но как ми­ни­мум три числа, во вто­рой день как ми­ни­мум че­ты­ре числа, в пер­вый день как ми­ни­мум пять чисел. Всего на доске как ми­ни­мум че­тыр­на­дцать чисел. Такое, дей­стви­тель­но, может быть:

Ответ: а)  нет; б)  да; в)  14.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

а)  В пер­вый день за­пи­са­но не более 8 чисел, по­это­му на вось­мой день (если он есть) будет за­пи­са­но не более од­но­го числа, при­чем оно долж­но быть боль­ше суммы чисел в пер­вый день, что не­воз­мож­но.

б)  Да, на­при­мер, если в пер­вый день за­пи­са­ны два­дцать чет­ве­рок и трой­ка, во вто­рой день  — во­сем­на­дцать пя­те­рок и две двой­ки, в тре­тий день  — де­вят­на­дцать пя­те­рок. Тогда сред­нее за пер­вый день со­ста­вит а за все дни

в)  Сумма чисел в пер­вый день не мень­ше 4, по­это­му в по­след­ний день не мень­ше Зна­чит, в по­след­ний день вы­пи­са­ны ми­ни­мум два числа, а всего ми­ни­мум чисел. Это воз­мож­но, на­при­мер, для таких на­бо­ров:

—  в пер­вый день 1, 1, 1, 1, 1;

—  во вто­рой день 1, 1, 2, 2;

—  в тре­тий день 1, 3, 3;

—  в чет­вер­тый день 3, 5.