Натуральное число называется свободным от квадратов, если оно не делится ни на один квадрат натурального числа, кроме 1. Составим последовательность {an}, состоящую из чисел, свободных от квадратов: пусть 
и для любых натуральных n 
где ai — число, свободное от квадратов.
а) Может ли число, свободное от квадратов, иметь 15 делителей?
б) Чему равно n, если an = 326?
в) Чему равно a100?
а) Все делители числа разбиваются на пары, дающие в произведении само число. Если количество делителей нечетно, один делителей образует пару сам с собой. Значит, число является квадратом этого делителя и не может быть свободно от квадратов.
б) Выясним, сколько чисел, не свободных от квадратов, будут меньше 326. Заметим, что ровно 
чисел от 1 до n делятся
Имеется 
число, кратное 4, 
чисел, кратных 9, 
чисел, кратных 25, 
чисел, кратных 49, 
чисел, кратных 121 и по одному числу, кратному 
и 
(сами эти числа). Итого
чисел. Числа могут быть также кратны двум из этих квадратов простых чисел (трем уже не могут, даже произведение трех самых маленьких из них составляет 
А именно: 
чисел, кратных 36,
числа, кратных 100 и по одному числу, кратному 
и 
Значит, 
чисел были посчитаны по два раза.
Таким образом, до 326 есть 
чисел, не свободных от квадратов. Следовательно, число 326 в последовательности имеет номер 
в) Как следует из вышеприведенного решения, примерно
чисел до n кратны 4 или 9. Возьмем для пробы
Аналогично предыдущему решению пункта б) имеются
чисел, не свободных от квадратов. Значит, 
Теперь переберем следующие числа, указав их разложение на множители:
следовательно, 163 — восьмое свободное от квадратов число в этом списке. Значит, 
Ответ: а) нет; б) 200; в) 163.