На доске написано N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 99. Для любых двух написанных на доске чисел a и b, таких, что a < b, ни одно из написанных чисел не делится на
а) Могли ли на доске быть написаны какие-то два числа из чисел 18, 19 и 20?
б) Среди написанных на доске чисел есть 17. Может ли N быть равно 25?
в) Найдите наибольшее значение N.
а) Поскольку 20 делится на 
и 
а 19 делится на 
это невозможно.
б) Рассмотрим остатки от деления данных чисел на 17. Всего разных остатков 17, поэтому среди 25 чисел найдутся два числа с одинаковыми остатками. Их разность будет кратна 17. Ситуация невозможна.
в) Рассмотрим числа 35, 
значит, все разности имеют вид 2n при 
Поскольку все числа нечетны, 2n может делиться на них, только если n делится. Но n меньше любого из них. В этом примере 33 числа.
Допустим, есть пример с 34 числами (если их больше — выкинем любые из них, оставив только 34). Рассуждения пункта б) показывают, что чисел, меньших 34, там быть не может, а рассуждения пункта а) — что среди чисел не может быть соседних. Значит, из каждой пары (34, 35), (36, 37), ..., (98, 99) есть максимум одно число. Тогда чисел не более чем количество пар, а их 33.
Ответ: а) нет, не могло; б) нет, не может; в) 33.
-------------
Дублирует задание № 630132.Спрятать критерии