PDF-версии: 
В треугольнике ABC на стороне BC отметили точку D так, что AB = BD. Биссектриса BF пересекает AD в точке E. Из точки C на прямую AD опущен перпендикуляр CK.
a) Докажите, что 
б) Найдите отношение площади ABE к площади CDEF, если 
Решение. а) В равнобедренном треугольнике ABD биссектриса BE является и высотой, Значит, прямая BF перпендикулярна прямой AD. Тогда прямые BF и CK параллельны. По теореме Фалеса 
По свойству биссектрисы треугольника 
Значит, 
что и требовалось доказать.
б) Пусть 
а 
тогда 
Треугольники BDE и CDK подобны по двум углам (
как вертикальные, 
), треугольники AEF и AKC подобны по двум углам (угол A — общий, 
). Пусть 
а 
тогда 
Тогда
Ответ: 30 : 19.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |